Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合.
求椭圆的方程；
设椭圆的上顶点为，过点作椭圆的两条动弦，若直线斜率之积为，直线是否一定经过一定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）恒过一定点.

试题分析：（1）可设椭圆方程为,因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合，所以，又，所以，又因，得，所以椭圆方程为；
（2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，可设，设，则，
易得，不合题意；故直线的斜率存在.设直线的方程为：，()，并代入椭圆方程，得： ①，设，则是方程①的两根，由韦达定理，由，利用韦达定理代入整理得，又因为，所以，此时直线的方程为，即可得出直线的定点坐标.
（1）由题意可设椭圆方程为,
因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合，所以，
又，所以，
又因，得，
所以椭圆方程为；    
（2）由（1）知，
当直线的斜率不存在时，设，设，则，
，不合题意.
故直线的斜率存在.设直线的方程为：，()，并代入椭圆方程，得：
 ①
由得 ②
设，则是方程①的两根，由韦达定理
，
由得：
，
即，整理得
，
又因为，所以，此时直线的方程为.
所以直线恒过一定点