Question

2．赣榆区自行车主题景观大道引进50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日125元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金2x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？

Answer 1

分析 （1）当x≤6时，y=50x-125，令50x-125＞0，解得x．当6＜x≤20时，y=[50-3（x-6）]x-125，即可得出．
（2）分别利用一次函数与二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）当x≤6时，y=50x-125，令50x-125＞0，解得x＞2.5，
∵x∈N，∴3≤x≤6，x∈N．
当6＜x≤20时，y=[50-3（x-6）]x-125=-3x²+68x-125；
综上所述，$y=\left\{\begin{array}{l}50x-125，3≤x≤6，x∈N\\-3{x^2}+68x-125，6＜x≤20，x∈N\end{array}\right.$．
（2）当3≤x≤6且x∈N时，∵y=50x-125是增函数，∴当x=6时，y_max=175元．
当6＜x≤20且x∈N时，$y=-3{x^2}+68x-125=-3{（x-\frac{34}{3}）^2}+\frac{781}{3}$，
∴x=11时，y_max=260元．
综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使得日净收入最多，为260元．

点评 本题考查了分段函数的应用、一次函数与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．