Question

已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e≈2.71828）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）g（x）=

f(x)

x

，x∈（0，+∞），讨论函数g（x）的单调性与极值；
（Ⅲ）若k∈Z，且f（x）+

1

2

（3x²-5x-2k）≥0 对任意x∈R恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由导数的几何意义，列出方程组求得a，b的值即可；
（Ⅱ）利用导数与函数的单调性、极值的关系，即可求得结论；
（Ⅲ）由f（x）+

1

2

（3x²-5x-2k）≥0 对任意x∈R恒成立，?k≤ex+

1

2

x2-

5

2

x-1对任意x∈R恒成立．
令h(x)=ex+

1

2

x2-

5

2

x-1，利用导数求得函数h（x）的最小值即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-x²+a，f'（x）=e^x-2x．
由已知

f(0)=1+a=0 f′(0)=1=b

⇒

a=-1 b=1

，f（x）=e^x-x²-1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)=

f(x)

x

， x＞0，
则g′(x)=

xf′(x)-f(x)

x2

=

x(ex-2x)-(ex-x2-1)

x2

=

(x-1)(ex-x-1)

x2

．
令y=e^x-x-1，y'=e^x-1＞0在x∈（0，+∞）恒成立，
从而y=e^x-x-1在（0，+∞）上单调递增，y＞e⁰-0-1=0．
令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．极小值为g（1）=e-2，无极大值．…（8分）
（Ⅲ）f(x)+

1

2

(3x2-5x-2k)≥0对任意x∈R恒成立，?ex+

1

2

x2-

5

2

x-1-k≥0对任意x∈R恒成立，
?k≤ex+

1

2

x2-

5

2

x-1对任意x∈R恒成立．…（10分）
令h(x)=ex+

1

2

x2-

5

2

x-1，h′(x)=ex+x-

5

2

，易知h'（x）在R上单调递增，
又h′(0)=-

3

2

＜0，h′(1)=e-

3

2

＞0，h′(

1

2

)=e

1

2

-2＜0，h′(

3

4

)=e

3

4

-

7

4

＞2.56

3

4

-

7

4

=1.6

3

2

-

7

4

=

512 125

-

7

4

＞2-

7

4

=

1

4

＞0，
∴存在唯一的x0∈(

1

2

， 

3

4

)，使得h'（x₀）=0，…（12分）
且当x∈（-∞，x₀）时，h'（x）＜0，x∈（x₀，+∞）时，h'（x）＞0．
即h（x）在（-∞，x₀）单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，h(x)min=h(x0)=ex0+

1

2

x

2 0

-

5

2

x0-1，
又h'（x₀）=0，即ex0+x0-

5

2

=0，ex0=

5

2

-x0．
∴h(x0)=

5

2

-x0+

1

2

x

2 0

-

5

2

x0-1=

1

2

(

x

2 0

-7x0+3)，
∵x0∈(

1

2

， 

3

4

)，∴h(x0)∈(-

27

32

， -

1

8

).k≤ex+

1

2

x2-

5

2

x-1对任意x∈R恒成立，
?k≤h（x₀），又k∈Z，∴k_max=-1．…（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生的分析问题，解决问题的能力及运算求解能力，考查等价转化思想的运用，综合性强，属难题．