Question

已知函数f（x）=ax²+（2-a）x-lnx．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设a＞1，若f（x）在区间[

1

a

，1]内的最大值为ln3，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导且令导数为0，从而求出单调区间的端点，从而确定单调区间．
（2）讨论最值的取得情况，求出a的值．

解答： 解：（1）当a＞0时，令f′（x）=0，即2ax²+（2-a）x-1=0．
解得，x=-

1

a

＜0，x=

1

2

＞0
则函数f（x）的单调减区间是（0，

1

2

），单调增区间是（

1

2

，+∞）．
（2）由（1）知，
函数f（x）没有极大值点，
∴其最大值要在端点处取得，
而f（1）=2，f（

1

a

）=

3

a

-1+lna有唯一的极小值ln3，
则a=3．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．