Question

若函数f（x）=

x 1 2 ，0≤x＜1 - 3 2 x+ 5 2 ，1≤x≤ 5 3

的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则（x-

a

x2

）⁶的展开式中的常数项为

 

（用数字作答）．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：由题意根据定积分的几何意义、求定积分可得a的值，再根据二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项．

解答： 解：函数f（x）=

x 1 2 ，0≤x＜1 - 3 2 x+ 5 2 ，1≤x≤ 5 3

的图象如图所示：
函数f（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为
a=

∫

1 0

x

1

2

dx+

1

2

•(

5

3

-1)•1=

2

3

•x

3

2

 

|

1 0

+

1

3

=1，
则（x-

a

x2

）⁶=（x-

1

x2

）⁶的展开式的通项公式
为T_r+1=

C

r 6

•（-1）^r•x^6-3r，
令6-3r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为

C

2 6

=15，
故答案为：15．

点评：本题主要考查定积分的几何意义、求定积分，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．