设An为数列{an}的前n项和.且有An=32(an-1)(n∈N+).数列{an}的通项公式为bn=4n+3(n∈N+)．(1)求数列{an}的通项公式,(2)若d∈{a1.a2.-an}∩{b1.b2.-bn}.则称d为数列{an}与{bn}的公共项．如果将数列{an}与{bn}的公共项按它们在原数列的顺序排成一个新的数列{dn}.求{dn}的通项公式� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设A_n为数列{a_n}的前n项和，且有A_n=

（a_n-1）（n∈N₊），数列{a_n}的通项公式为b_n=4n+3（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若d∈{a₁，a₂，…a_n}∩{b₁，b₂，…b_n}，则称d为数列{a_n}与{b_n}的公共项．如果将数列{a_n}与{b_n}的公共项按它们在原数列的顺序排成一个新的数列{d_n}，求{d_n}的通项公式．

考点：数列的应用,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由A_n=

（a_n-1）（n∈N₊），再写一式，两式相减，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）a₁、a₂不是数列{b_n}中的项．a₃=27=4×6+3，d₁=27是数列{b_n}中的第6项，设a_k=3^k是数列{b_n}中的第m项，则3^k=4m+3（k、m∈N^*）．再证明a_k+1不是数列{b_n}中的项．a_k+2是数列{b_n}中的项．所以d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a_2n+1，由此求出数列{d_n}的通项公式．

解答： 解：（1）∵A_n=

（a_n-1）（n∈N^*），
∴a₁=3．
当n≥2时，a_n=A_n=

（a_n-1）-

（a_n-1-1），
∴a_n=3a_n-1（n≥2）．
∴数列{a_n}是以3首项，公比为3的等比数列，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ（n∈N^*）；
（2）由（Ⅰ）知a₁、a₂显然不是数列{b_n}中的项．
∵a₃=27=4×6+3，
∴d₁=27是数列{b_n}中的第6项，
设a_k=3^k是数列{b_n}中的第m项，则3^k=4m+3（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=3^k+1=3×3^k=3（4m+3）=4（3m+2）+1，
∴a_k+1不是数列{b_n}中的项．
∵a_k+2=3^k+2=9×3^k=9（4m+3）=4（9m+6）+3，
∴a_k+2是数列{b_n}中的项．
∴d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a_2n+1，
∴数列{d_n}的通项公式是d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．

点评：本题考查数列的性质和应用，考查数列的通项，考查等比数列的证明，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．