Question

一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC；
①证明：平面ACD⊥平面ADE；
②已知AB=2，AC=

2

，二面角C-AE-B的平面角为

π

3

，求|BE|的长．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：①证明ED⊥平面ACD，即可证明平面ACD⊥平面ADE；
②连结CO，过O作OG⊥AE于G，连结CG，则∠CGO=

π

3

，求出CO，AG，即可求|BE|的长．

解答： ①证明：∵AB是圆O的直径，
∴CB⊥AC，
∵DC⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴CD⊥BC，
∵CD∩AC=C，
∴CB⊥平面ACD，
∵四边形DCBE为平行四边形，
∴CB∥ED，
∴ED⊥平面ACD，
∵ED?平面ADE，
∴平面ACD⊥平面ADE；
②解：连结CO，过O作OG⊥AE于G，连结CG，
∵AB=2，AC=

2

，
∴CO⊥AB且CO=1，
∵CD∥BE，CD⊥平面ABC，
∴BE⊥平面ABC，
∴BE⊥CO，
∴CO⊥平面ABC，
∴∠CGO=

π

3

，
∴CO=

3

3

，
∴AG=

6

3

，
∴

OG

BE

=

AG

AB

，即

3 3

BE

=

6 3

2

，
∴|BE|=

2

点评：本题考查平面与平面垂直，考查平面与平面所成角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．