题目内容
椭圆
+
=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：椭圆的应用
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF1相切于点M，连结OM、PF2，利用三角形中位线定理与圆的切线的性质，证出PF1⊥PF2且|PF2|=2b，然后在Rt△PF1F2中利用勾股定理算出|PF1|．根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，从而建立关于a、b、c的等式，解出b=
a，c=
a，进而可得椭圆的离心率的大小．
| 2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
解答：
解：设
以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF1相切于点M，连结OM、PF2，
∵M、O分别为PF1、F1F2的中点，
∴MO∥PF2，且|PF2|=2|MO|=2b，
又∵线段PF1与圆O相切于点M，可得OM⊥PF1，
∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|=
=2
．
∴|PF1|+|PF2|=2
+2b=2a，
化简得2ab=a2-c2+2b2=3b2，
∴b=
a，c=
a，
∴离心率为e=
=
．
故答案为：
．
以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF1相切于点M，连结OM、PF2，∵M、O分别为PF1、F1F2的中点，
∴MO∥PF2，且|PF2|=2|MO|=2b，
又∵线段PF1与圆O相切于点M，可得OM⊥PF1，
∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|=
| 4c2-4b2 |
| c2-b2 |
∴|PF1|+|PF2|=2
| c2-b2 |
化简得2ab=a2-c2+2b2=3b2，
∴b=
| 2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
∴离心率为e=
| c |
| a |
| ||
| 3 |
故答案为：
| ||
| 3 |
点评：本题考查了三角形的中位线定理、圆的切线的性质、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，a=
，b=
，A=60°．则满足条件的三角形个数为（ ）
| 3 |
| 6 |
| A、0个 | B、1个 | C、2个 | D、无数个 |
若
=（a1，a2，a3），
=（b1，b2，b3），则
=
=
是
∥
的（ ）
| a |
| b |
| a1 |
| b1 |
| a2 |
| b2 |
| a3 |
| b3 |
| a |
| b |
| A、既不充分也不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、充分不必要条件 |
“a＜2”是“对任意实数x，|x+1|+|x-1|≥a成立”的（ ）
| A、充要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充分不必要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
在△ABC中，A=
，C=
，b=2，则此三角形的最小边长是（ ）
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| A、1 | ||||
B、2
| ||||
C、
| ||||
D、
|