题目内容
2．2016年是红色长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动| 公园 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| 获得签名人数 | 45 | 60 | 30 | 15 |
（Ⅰ）求此活动轴个各公园幸运之星的人数
（Ⅱ）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率
（Ⅲ）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列及数学期望E（X）
分析 （Ⅰ）此活动轴个各公园幸运之星的人数分别为：$\frac{45}{150}×10$，$\frac{60}{150}×10$，$\frac{30}{150}$×10，$\frac{15}{150}$×10．
（Ⅱ）乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为${∁}_{4}^{4}（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{4}$=$\frac{1}{4}$，可得乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率=${∁}_{4}^{2}×（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$．
（Ⅲ）由题意可得：X的取值为2，3，4．X服从几何分布列．即可得出．
解答 解：（Ⅰ）此活动轴个各公园幸运之星的人数分别为：$\frac{45}{150}×10$=3，$\frac{60}{150}×10$=4，$\frac{30}{150}$×10=2，$\frac{15}{150}$×10=1．
（Ⅱ）乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为${∁}_{4}^{4}（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率=${∁}_{4}^{2}×（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{27}{128}$．
（Ⅲ）由题意可得：X的取值为2，3，4．X服从几何分布列．P（X=2）=$\frac{{∁}_{8}^{2}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=3）=$\frac{{∁}_{8}^{3}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{8}{15}$，P（X=4）=$\frac{{∁}_{8}^{4}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{3}$．
X的分布列为：
| X | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{2}{15}$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{1}{3}$ |
点评 本题考查了几何分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式、分层抽样，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{5π}{6}$ |
| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | 2$\sqrt{2}$ |
| A． | $\sqrt{13}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | $\sqrt{10}$ | D． | 2+$\sqrt{3}$ |
| A． | R | B． | （$\frac{1}{3}$，1） | C． | （0，$\frac{1}{3}$） | D． | （-∞，0]∪[$\frac{1}{3}$，+∞） |