Question

9．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ x-3y≤-2\\ x≥1\end{array}\right.$，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． 8
• D． 17

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求则的最小值．

解答 解：由约束条件得到可行域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）
即y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$的最小值为2是过图中A（1，1）得到，所以a+b=2，所以a+b=2≥2$\sqrt{ab}$，
所以ab≤1，则$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$≥$\frac{2}{ab}$≥2；
当且仅当a=b时等号成立；
故选B．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．