Question

4．函数f（x）=k•a^-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=$\frac{f（x）+b}{f（x）-1}$是奇函数，求b的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下判断函数g（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系数法求解析式即可；
（Ⅱ）利用奇函数的定义得到关于b的等式解之即可；
（Ⅲ）利用单调性的定义进行判断证明．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=k•a^-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ k{a^{-3}}=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ a=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，------------------（2分）
∴$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^{-x}}={2^x}$，-------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$g（x）=\frac{{{2^x}+b}}{{{2^x}-1}}$，∵函数$g（x）=\frac{{{2^x}+b}}{{{2^x}-1}}$为奇函数，
∴g（-x）=-g（x）即$\frac{{{2^{-x}}+b}}{{{2^{-x}}-1}}=-\frac{{{2^x}+b}}{{{2^x}-1}}$，---------（5分）
∴$\frac{{b{2^x}+1}}{{1-{2^x}}}=\frac{{{2^x}+b}}{{1-{2^x}}}$-------------（6分）
∴b=1．-----------------------（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知$g（x）=\frac{{{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}=1+\frac{2}{{{2^x}-1}}$，∴g（x）在（0，+∞）为减函数，---（8分）
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则$g（{x_1}）-g（{x_2}）=1+\frac{2}{{{2^{x_1}}-1}}-（{1+\frac{2}{{{2^{x_2}}}}}）$=$\frac{2}{{{2^{x_1}}-1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}-1}}=\frac{{2（{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}）}}{{（{{2^{x_1}}-1}）（{{2^{x_2}}-1}）}}$，-----------------------（9分）
∵0＜x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}，{2^{x_1}}＞1，{2^{x_2}}＞1$，-----------（10分）
∴${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0，{2^{x_1}}-1＞0，{2^{x_2}}-1＞0$，即g（x₁）-g（x₂）＞0，∴g（x₁）＞g（x₂）---（11分）
∴g（x）在（0，+∞）为减函数-------------------------------（12分）

点评 本题考查了待定系数法求解析式以及利用定义判断函数的奇偶性和单调性；属于中档题．