Question

5．已知函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数，f（1）=$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，+∞）上的值域；
（Ⅱ）若函数g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出参数k、a，再根据y=2^x是增函数，y=2^-x是减函数，则f（x）=2^x-2^-x在[1，+∞）上单调递求解．
（Ⅱ）设t=f（x），由（Ⅰ）及题设知：y=g（x）=f²（x）-2mf（x）+2=t²-2mt+2，再根据含参数二次函数性质求解．

解答 解：（Ⅰ） 由题设知：$\left\{\begin{array}{l}f（0）=k-1=0\\ f（1）=ka-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ a=2\end{array}\right.$…（2分）
∴f（x）=2^x-2^-x…（3分）
∵y=2^x是增函数，y=2^-x是减函数
∴f（x）=2^x-2^-x在[1，+∞）上单调递增 …（5分）
∴所求值域为[f（1），+∞），即$[{\frac{3}{2}}\right.，\;\left.{+∞}）$…（6分）
（Ⅱ） 设t=f（x），由（Ⅰ）及题设知：y=g（x）=f²（x）-2mf（x）+2=t²-2mt+2
即y=（t-m）²+2-m²在$[{\frac{3}{2}}\right.，\;\left.{+∞}）$上的最小值为-2，…（7分）
∴当$m≥\frac{3}{2}$时，t=m，${y_{min}}=2-{m^2}=-2$，得m=2；…（9分）
当$m＜\frac{3}{2}$时，$t=\frac{3}{2}$，${y_{min}}=\frac{9}{4}-3m+2=-2$，得$m=\frac{25}{12}＞\frac{3}{2}\;（舍）$；…（11分）
∴m=2…（12分）

点评 本题考查了函数的值域的求解，属于中档题．