Question

已知函数f（x）=3sin（2x+

π

6

）
（1）若x₀∈[0，2π），且f（x₀）=

3

2

，求x₀的值；
（2）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且函数y=g（x）是偶函数，求m的最小值；
（3）若关于x的方程f（x）-a=0在x∈[0，

π

2

）上只有一个实数解，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）通过f（x₀）=

3

2

，结合x₀∈[0，2π），即可求x₀的值；
（2）利用左加右减的原则，将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，求出函数的表达式，利用函数y=g（x）是偶函数，就求m的最小值；
（3）关于x的方程f（x）-a=0在x∈[0，

π

2

）上只有一个实数解，直接求a的取值范围．

解答： 解：（1）f(x0)=3sin(2x0+

π

6

)=

3

2

∴sin(2x0+

π

6

)=

1

2

∴2x0+

π

6

=2kπ+

π

6

或2x0+

π

6

=2kπ+

5π

6

--------------------（3分）
∴x0=kπ或x0=kπ+

π

3

，k∈Z
∵x0∈[0，2π)∴x0=0或

π

3

或π或

4π

3

---------（5分）
（2）函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，
∴g(x)=f(x-m)=3sin(2x-2m+

π

6

)，
∵g（x）是偶函数．
∴-2m+

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z
∴m=-

kπ

2

-

π

6

∵m＞0∴mmin=

π

3

-----------------（10分）
（3）由y=f(x)，x∈[0，

π

2

)，即f（x）=3sin（2x+

π

6

），
f（x）-a=0在x∈[0，

π

2

）上只有一个实数解，
y=f（x）与y=a图象只有一个交点，x∈[0，

π

2

）∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

），当2x+

π

6

=

π

2

时，
f（x）=3sin（2x+

π

6

）=3，此时方程只有一个解．
2x+

π

6

=

π

6

时，f（x）=3sin（2x+

π

6

）=

3

2

，
2x+

π

6

=

7π

6

时，f（x）=3sin（2x+

π

6

）=-

3

2

∴f（x）-a=0在x∈[0，

π

2

）上只有一个实数解，
得 -

3

2

＜a＜

3

2

或a=3-------（16分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，函数的图象的平移，函数的零点问题的应用．