Question

已知向量

a

=（

3

，2），

b

=（sin2ωx，-cos²ωx），（ω＞0）．
（Ⅰ）若f(x)=

a

•

b

，且f（x）的最小正周期为π，求f（x）的最大值，并求f（x）取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据题意表示出函数的解析式，并利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，利用三角函数周期公式求得ω，得到函数解析式，令2sin（2x-

π

6

）=1求得x的集合，进而求得函数的最大值．
（Ⅱ）令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

求得x的范围即函数的单调减区间．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

=

3

sin2ωx-2cos²ωx=

3

sin2ωx-cos2x-1=2sin（2ωx-

π

6

）-1，
T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，
令2sin（2x-

π

6

）=1，即sin（2x-

π

6

）=

1

2

，
2x-

π

6

=2kπ+

π

6

或2x-

π

6

=2kπ+

5π

6

，k∈Z，
即x=kπ+

π

6

或x=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴当x=kπ+

π

6

或x=kπ+

π

2

（k∈Z）时，函数取得最大值1．
（Ⅱ）令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
求得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
∴函数的单调减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．在解决三角函数的单调区间问题时常结合三角函数的图象来解决．