Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（0）=-4，f（x+1）为偶函数，且x=-2是函数f（x）-4的一个零点．又g（x）=mx+4（m＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=g（x）在x∈（1，5）上有解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）令h（x）=f（x）-|g（x）|，求h（x）的单调区间．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的零点

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由f（0）求出c的值，由f（x+1）为偶函数，且x=-2是函数f（x）-4的一个零点，求出a、b的值，即得f（x）；
（Ⅱ）方程x²-2x-4=mx+4在x∈（1，5）上有解，转化为求m=x-2-

8

x

在（1，5）上的取值范围；
（Ⅲ）求出h（x）的表达式，讨论m的取值，对应函数h（x）的单调性是什么，写出对应的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（0）=-4，∴c=-4；（1分）
∵f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，
即f（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b+c；
又∵f（x+1）为偶函数，∴2a+b=0；①（2分）
∵x=-2是函数f（x）-4的一个零点，
∴f（-2）-4=0，∴4a-2b-8=0；②
由①②解得a=1，b=-2；
∴f（x）=x²-2x-4；（4分）
（Ⅱ）f（x）=g（x）在x∈（1，5）上有解，
即x²-2x-4=mx+4在x∈（1，5）上有解；
∴m=x-2-

8

x

；
∵m=x-2-

8

x

在（1，5）上单调递增，
∴实数m的取值范围为(-9，

7

5

)；（8分）
（Ⅲ）h（x）=x²-2x-4-|mx+4|，
即h（x）=

x2-(m+2)x-8， x≥- 4 m x2+(m-2)x，   x＜- 4 m

；（9分）
①当x≥-

4

m

时，h（x）=x²-（m+2）x-8的对称轴为x=

m+2

2

，
∵m＞0，∴

m+2

2

＞-

4

m

总成立；
∴h（x）在(-

4

m

，

m+2

2

)上单调递减，在(

m+2

2

，+∞)上单调递增；（11分）
②当x＜-

4

m

时，h（x）=x²+（m-2）x的对称轴为x=

2-m

2

，
若

2-m

2

≥-

4

m

，即0＜m≤4，h（x）在(-∞，-

4

m

)上单调递减；（13分）
若

2-m

2

＜-

4

m

，即m＞4，h（x）在(-∞，

2-m

2

)上单调递减，在(

2-m

2

，-

4

m

)上单调递增；（15分）
综上，当0＜m≤4时，h（x）的单调递减区间为(-∞，

m+2

2

)，单调递增区间为(

m+2

2

，+∞)；
当m＞4时，h（x）的单调递减区间为(-∞，

2-m

2

)和(-

4

m

，

m+2

2

)；单调递增区间为(

2-m

2

，-

4

m

)和(

m+2

2

，+∞)．（16分）

点评：本题考查了求函数的解析式以及函数的单调性与奇偶性问题，解题时应用分类讨论思想，是较难的题目．