Question

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的主(正)视图和俯视图．

(1)请画出该安全标识墩的左(侧)视图；

(2)求该安全标识墩的体积；

(3)证明：直线BD⊥平面PEG.

Answer 1

[解析]　

(1)该安全标识墩左(侧)视图如图所示．

(2)该安全标识墩的体积

V＝V_P－EFGH＋V_ABCD－EFGH

＝×40×40×60＋40×40×20

＝64 000(cm³)．

(3)由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴FH⊥EG，

又ABCD－EFGH为长方体，

∴BD∥FH.

设点O是EFGH的对称中心，

∵P－EFGH是正四棱锥，

∴PO⊥平面EFGH.

而FH平面EFGH，∴PO⊥FH.

∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，PO平面PEG，EG平面PEG，

∴FH⊥平面PEG.

而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.