题目内容

若2x2+ax-2a+1＞0在a∈[-1，3]上恒成立，则x的取值范围为
 
．
考点：函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：将不等式恒成立转化为以a为主变量的不等式，构造函数，利用函数的性质即可得到结论．
解答： 解：不等式2x2+ax-2a+1＞0等价为（x-2）a+2x2+1＞0，
设f（x）=（x-2）a+2x2+1，
当a∈[-1，3]时，f（a）=（x-2）a+2x2+1为直线，
∴要使（x-2）a+2x2+1＞0，
则只需要
f(-1)＞0
f(3)＞0
即可，
即
-x+2+2x2+1＞0
3x-6+2x2+1＞0
，
∴
2x2-x+3＞0
2x2+3x-5＞0
，
即
x∈R
x＞1或x＜-
5
2
，
∴x＞1或x＜-
5
2
．
∴x的取值范围为是{x|x＞1或x＜-
5
2
}，
故答案为：{x|x＞1或x＜-
5
2
}．
点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式转化为以a为主变量，构造函数是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知直线l：y=kx+1，⊙C：（x-1）2+（y+1）2=12
（1）判断直线l与⊙C的公共点个数；
（2）求直线l被⊙C截得的最短弦长．
已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）最小值是f（-1）=0，且c=1，F(x)=
f(x)，x＞0
-f(x)，x＜0
，求F（3）+F（-4）的值
（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，2]上恒成立，试求b的取值范围．
已知F1，F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，则点M在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线离心率为
 
．
己知f（x）=x2+alnx的图象上任意不同两点连线的斜率大于2，那么实数a的取值范围是
 
．
对于任意实数x，不等式ax2-2x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是
 
．
已知(x+
1
2
x
)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则n=
 
．
以椭圆
x2
49
+
y2
24
=1的左焦点为圆心且与双曲线
x2
16
-
y2
9
=1的渐近线相切的圆的方程为
 
．
设f（x）=x2+2|x|，对于实数x1，x2，给出下列条件：①x1+x2＞0，②x1+x2＜0，③x
 
2
1
＞x
 
2
2
，④x1＞|x2|；其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的是
 
．（写出所有答案）

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