Question

设f（x）=x²+2^|x|，对于实数x₁，x₂，给出下列条件：①x₁+x₂＞0，②x₁+x₂＜0，③x

2 1

＞x

2 2

，④x₁＞|x₂|；其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的是

 

．（写出所有答案）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：易判断函数f（x）为偶函数及在（0，+∞）上递增，在（-∞，0）上递减，①②可举反例排除；③④由奇偶性、单调性可判断．

解答： 解：∵f（-x）=f（x），∴函数f（x）=x²+2^|x|是偶函数，
当x＞0时，f（x）=x²+2^x单调递增，
∴可知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又f（x）为偶函数，∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，
①若x₁=1，x₂=2，则x₁+x₂＞0，
由f（x）在（0，+∞）上是增函数，知f（x₁）＜f（x₂），故①错误；
②若x₁=-1，x₂=-2，则x₁+x₂＜0，
由f（x）在（-∞，0）上是减函数，知f（x₁）＜f（x₂），故②错误；|
③由x₁²＞x₂²可得|x₁|＞|x₂|≥0，
由函数在（0，+∞）是增函数，得f（|x₁|）＞f（|x₂|），即f（x₁）＞f（x₂），故③正确；
④x₁＞|x₂|≥0，由函数在（0，+∞）是增函数，得f（|x₁|）＞f（|x₂|），即f（x₁）＞f（x₂），故④正确；
故答案为：③④．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其综合应用，考查恒成立问题，考查学生推理论证能力，属中档题．