Question

14．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中∠BAC=30°）及其体积．

Answer 1

分析 求出AC=$\sqrt{3}$R，BC=R，CO₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，再求出几何体的表面积；要求旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积，根据圆锥的体积公式和球的体积公式进行计算．

解答 解：如图所示，过C作CO₁⊥AB于O₁，在半圆中可得∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=2R，
∴AC=$\sqrt{3}$R，BC=R，CO₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴S_球=4πR²，
${S}_{圆锥A{O}_{1}侧}$=π×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×$\sqrt{3}$R=$\frac{3}{2}$πR²，
${S}_{圆锥B{O}_{1}侧}$=π×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$πR²，
∴S_几何体表=S_球+${S}_{圆锥A{O}_{1}侧}$+${S}_{圆锥B{O}_{1}侧}$=$\frac{11+\sqrt{3}}{2}$πR²，
∴旋转所得到的几何体的表面积为$\frac{11+\sqrt{3}}{2}$πR²．
又V_球=$\frac{4}{3}$πR³，${V}_{圆锥A{O}_{1}}$=$\frac{1}{3}$•AO₁•π•CO₁²=$\frac{1}{4}$πR²•AO₁
${V}_{圆锥B{O}_{1}}$=$\frac{1}{3}$BO₁•πCO₁²=$\frac{1}{4}$BO₁•πR²
∴V_几何体=V_球-（${V}_{圆锥A{O}_{1}}$+${V}_{圆锥B{O}_{1}}$）=$\frac{5}{6}$πR³．

点评 本题考查组合体的表面积、体积的求法，能够熟练运用锐角三角函数的概念进行求解，熟悉圆锥和球的表面积、体积公式．