Question

将圆x²+y²=4上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线设为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若曲线E与x轴、y轴分别交于点A（a，0），B（-a，0），C（0，b），其中a＞0，b＞0．过点C的直线l与曲线E交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．当点P异于点B时，求证：

OP

•

OQ

为定值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（ x，2y）在圆x²+y²=4上，由此能求出曲线E的方程．
（2）根据题意可设直线l的方程为y=kx+1，由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kx=0．由此利用已知条件能证明

OP

•

OQ

为定值4．

解答： （本题满分10分）
解：（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），
根据图象的变换可知点（ x，2y）在圆x²+y²=4上，
∴x²+4y²=4，
∴曲线E的方程为

x2

4

+y²=1．（说明：没有过程得2分）    …（4分）
（2）根据题意可设直线l的方程为y=kx+1，
由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

可得（4k²+1）x²+8kx=0．
解得x=0或x=

-8k

4k2+1

，代入直线l方程得D点坐标为（

-8k

4k2+1

，

1-4k2

4k2+1

）．…（6分）
又直线AC的方程为

x

2

+y=1，直线BD的方程为y=

1+2k

2-4k

（x+2），
联立

x 2 +y=1 y= 1+2k 2-4k (x+2)

   …（8分）
解得

x=-4k y=2k+1

因此Q（-4k，2k+1），又P（-

1

k

，0），
所以

OP

•

OQ

=（-

1

k

，0）•（-4k，2k+1）=4．
故

OP

•

OQ

为定值4．…（10分）

点评：本题考查曲线E的方程的求法，考查

OP

•

OQ

为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．