Question

17．已知函数f（x）=log_a|x+1|（a＞0且a≠1），当x∈（0，1）时，恒有f（x）＜0成立，则函数g（x）=log_a（-$\frac{3}{2}$x²+ax）的单调递减区间是（0，$\frac{a}{3}$]．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质可得当x∈（0，1）时，|x+1|＞1，但log_a|x+1|＜0，故由对数函数的图象知，0＜a＜1．恒有f（x）＜0成立，由-$\frac{3}{2}$x²+ax＞0，解得0＜x＜$\frac{2}{3}$a，在根据复合函数的单调性即可得到答案．

解答 解：由题意：当x∈（0，1）时，|x+1|＞1，但log_a|x+1|＜0，故由对数函数的图象知，0＜a＜1；
∵对数函数的真数要大于0，即-$\frac{3}{2}$x²+ax＞0，解得：0＜x＜$\frac{2}{3}$a，
令t=-$\frac{3}{2}$x²+ax，开口向下，对称轴x=$\frac{a}{3}$，
当x在（0，$\frac{a}{3}$]时增函数，x在[$\frac{a}{3}$，$\frac{2a}{3}$）时减函数．
根据复合函数的单调性“同增异减”可得：
x∈（0，1）时，恒有f（x）＜0成立时，函数g（x）=log_a（-$\frac{3}{2}$x²+ax）的单调递减区间是（0，$\frac{a}{3}$]．
故答案为：（0，$\frac{a}{3}$]．

点评 本题考查了对数函数的性质的运用以及复合函数的单调性．属于中档题．