Question

12．已知二次函数f（x）=ax²+bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（2-x）=f（x-1），且方程f（x）=x有两个相等的实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）-f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结合一元二次函数的图形特征，列出-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$与△=0；
（2）根据对称轴与区间的关系来分类讨论；
（3）观察图形知2n$≤\frac{1}{4}$⇒n$≤\frac{1}{8}$； f（x）在[m，n]上单调递增 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+m=2m}\\{-{n}^{2}+n=2n}\end{array}\right.$

解答 解：（1）由题意知f（x）=ax²+bx关于x=$\frac{1}{2}$对称
∴-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$
ax²+bx=x有两个相等的实根，∴△=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$  
所以，f（x）=-x²+x；
（2）F（x）=kx+1+x²-x=x²+（k-1）x+1
F（x）的对称轴为：x=-$\frac{k-1}{2}$
①当-$\frac{k-1}{2}$≤1时，F（x）_min=F（1）≤k+1
②当 1＜-$\frac{k-1}{2}$≤2时，$F（x）_{min}=1-\frac{（k-1）^{2}}{4}$
③当-$\frac{k-1}{2}$＞2 时，F（x）_min=F（2）=2k+3
∴F（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{k+1，k≥-1}\\{1-\frac{（k-1）^{2}}{4}，-3≤k＜-1}\\{2k+3，k＜-3}\end{array}\right.$
（3）f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$
∴2n$≤\frac{1}{4}$⇒n$≤\frac{1}{8}$
∴f（x）在[m，n]上单调递增
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+m=2m}\\{-{n}^{2}+n=2n}\end{array}\right.$
∵m＜n
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=0}\end{array}\right.$

点评 本题主要考查了一元二次函数的性质，分类讨论区间与对称轴的关系，属中等题．