Question

8．某中学经市政府批准建分校，建分校工程分三期完成，确定由甲、乙两家建筑公司承建此工程．规定每期工程仅由两公司之一独立承建，必须在前一期工程完工后再开始后一期工程．已知甲公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权的概率分别为$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求甲公司至少获得一期工程的概率；
（Ⅱ）求甲公司获得工程期数比乙公司获得工程期数多的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“甲公司至少获得一期工程”为事件A，其对立事件为$\overline{A}$．利用对立事件概率计算公式能求出甲公司至少获得一期工程的概率．
（Ⅱ）记“甲公司获得第i期工程”为事件A_i（i=1，2，3），记“乙公司获得第i期工程”为事件B_i（i=1，2，3），记“甲公司获得工程期数比乙公司获得工程期数多”为事件D，则P（D）=P（A₁A₂B₃）+P（A₁A₃B₂）+P（A₂A₃B₁）+P（A₁A₂A₃），由此能求出甲公司获得工程期数比乙公司获得工程期数多的概率．

解答 解：（Ⅰ）记“甲公司至少获得一期工程”为事件A，其对立事件为$\overline{A}$．
则 P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{7}{8}$．
（Ⅱ）记“甲公司获得第i期工程”为事件A_i（i=1，2，3），
记“乙公司获得第i期工程”为事件B_i（i=1，2，3），
记“甲公司获得工程期数比乙公司获得工程期数多”为事件D，
则P（D）=P（A₁A₂B₃）+P（A₁A₃B₂）+P（A₂A₃B₁）+P（A₁A₂A₃）
=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}+\frac{2}{3}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$
=$\frac{11}{24}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．