Question

11．设点P为等边△ABC所在平面内的一点，满足$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CA}$，若AB=2，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值是12．

Answer 1

分析 利用平面向量的三角形法则以及数量积的运算，将$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$用等边三角形对应边的向量表示，展开计算数量积即可．

解答 解：由题意，如图，△ABC为等边三角形，$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CA}$，AB=2，
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$（\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}）（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}）$=$（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}）$$（\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}）$
=$（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}）•2\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}+2{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$2×2×2×\frac{1}{2}+2×{2}^{2}$=12；
故答案为：12．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算；关键是正确将所求转化为等边三角形边对应的向量为基底，进行计算．