Question

α和β是关于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两个实根，则α²+β²的最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先利用韦达定理得出根与系数的关系，再将所求式变形，结合函数的判别式，确定函数在区间上为单调减函数，由此即可求得α²+β²的最大值．

解答： 解：∵α和β是关于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两个实根
∴α+β=k-2，αβ=k²+3k+5
∴α²+β²=（α+β）²-2αβ=（k-2）²-2（k²+3k+5）=-k²-10k-6=-（k+5）²+19
∵△=（k-2）²-4（k²+3k+5）=-3k²-16k-16≥0
∴-4≤k≤-

4

3

，
∴k=-4时，α²+β²取得最大，最大值为18
故答案为：18．

点评：本题考查根与系数关系的运用，考查二次函数最值的研究，其中构建函数，确定参数的范围是解题的关键．