Question

已知圆F₁：（x+1）²+y²=

1

4

，圆F₂：（x-1）²+y²=

49

4

，动圆M与F₁、F₂都相切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点A（-2，0），过点F₂作直线l与轨迹C交于P，Q两点，求

AP

•

AQ

的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由动圆与两定圆圆心距间的关系得到|MF₁|+MF₂|=4，结合椭圆的定义得动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）分l与x轴重合、与x轴垂直及l与x轴不重合也不垂直三种情况求解

AP

•

AQ

的取值，前两种情况直接求出P，Q的坐标，代入向量数量积公式得答案，后一种情况需设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数关系结合向量数量积的坐标运算求解．

解答： 解：（1）设动圆圆心为M（x，y），圆M的半径为r，
则|MF1|=r+

1

2

，|MF2|=

7

2

-r
∴|MF₁|+MF₂|=4，
则动圆圆心M的轨迹C为以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆．
由2a=4，得a=2，又c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
故轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）∵F₂在曲线C内部，
∴过F₂的直线与曲线C恒有两个公共点．
（i）当l与x轴重合时，P或Q有一个与A重合，
∴

AP

•

AQ

=0；
（ii）当l⊥x轴时，
P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)，

AP

=(3，

3

2

)，

AQ

=(3，-

3

2

)，
∴

AP

•

AQ

=9-

9

4

=

27

4

；
（iii）当l与x轴不重合也不垂直时，设l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0．
∴x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

．
∴

AP

•

AQ

=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)
=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂
=x1x2+2(x1+x2)+4+k2(x1x2-x1-x2-1)
=

27k2

4k2+3

=

27

4+ 3 k2

．
∵k²＞0，∴0＜

AP

•

AQ

＜

27

4

．
综上，0≤

AP

•

AQ

≤

27

4

．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了平面向量的数量积运算，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了分类讨论的数学思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数关系解题，是高考试卷中的压轴题．