Question

已知函数f（x）=mx²-m²x-mx+m²．
（1）若对于x∈[0，1]，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．
（2）若对于m∈[0，1]，f（x）≥0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由f（x）=mx²-m²x-mx+m²=mx²-（m²+m）x+m²，分m=0、m＞0和m＜0三种情况结合二次函数图象和性质列不等式求解，最后取并集求得对于x∈[0，1]，f（x）≥0恒成立的实数m的取值范围；
（2）更换主元，得到f（m）=（1-x）m²+（x²-x）m，然后分x=1、x＜1和x＞1三种情况结合二次函数图象和性质列不等式求解，最后取并集求得对于m∈[0，1]，f（x）≥0恒成立的实数x的取值范围．

解答： 解：f（x）=mx²-m²x-mx+m²．
（1）由f（x）=mx²-m²x-mx+m²=mx²-（m²+m）x+m²，
当m=0时，f（x）=0恒成立，满足对于x∈[0，1]，f（x）≥0恒成立；
当m＞0时，要使对于x∈[0，1]，f（x）≥0恒成立，则

m＞0 m2+m 2m ≤0 m2≥0

（Ⅰ）或

m＞0 m2+m 2m ≥1 m×12-(m2+m)×1+m2≥0

（Ⅱ）或

m＞0 0＜ m2+m 2m ＜1 [-(m2+m)]2-4m3≤0

（Ⅲ）．
解（Ⅰ）得：m∈∅；解（Ⅱ）得：m≥1；解（Ⅲ）得：m∈∅．
∴实数m的取值范围是[1，+∞）；
当m＜0时，要使对于x∈[0，1]，f（x）≥0恒成立，则

f(0)=m2≥0 f(1)=0≥0

，∴m＜0．
综上，对于x∈[0，1]，f（x）≥0恒成立的实数m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）；
（2）由f（m）=mx²-m²x-mx+m²=（1-x）m²+（x²-x）m，
当x=1时，f（m）=0恒成立，满足对于m∈[0，1]，f（m）≥0恒成立；
当x＜1时，要使对于m∈[0，1]，f（m）≥0恒成立，则

x＜1 x2-x 2(x-1) ≤0 f(0)=0≥0

（Ⅰ）或

x＜1 x2-x 2(x-1) ≥1 f(1)=1-x+x2-x≥0

（Ⅱ）或

x＜1 0＜ x2-x 2(x-1) ＜1 (x2-x)2≤0

（Ⅲ）
解（Ⅰ）得：x≤0；解（Ⅱ）得：x∈∅；解（Ⅲ）得：x∈∅；
∴实数x的取值范围是（-∞，0]；
当x＞1时，要使对于m∈[0，1]，f（m）≥0恒成立，则

f(0)=0≥0 f(1)=1-x+x2-x≥0

，∴x＞1．
综上，对于m∈[0，1]，f（x）≥0恒成立的实数x的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了二次函数的图象和性质，训练了更换主元的解题思想方法，是中档题．