Question

已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，首项为a₁，且

1

2

，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若an2=（

1

2

） bn，设c_n=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差中项的性质得：2an=Sn+

1

2

，再令n=1可求a₁，利用n≥2时，a_n=s_n-s_n-1可得a_n=2a_n-1，可证数列{a_n}是等比数列，再求出它的通项公式；
（2）由（1）和条件求出b_n和c_n，再利用错位相减法即可求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由题意知2an=Sn+

1

2

，an＞0
当n=1时，2a₁=a₁+

1

2

，∴a₁=

1

2

，
当n≥2时，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

，
两式相减得，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
得：

an

an-1

=2，
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，2为公比的等比数列．
则an=a1?2n-1=

1

2

×2n-1=2n-2；
（2）由题意得，

a

2 n

=2-bn=22n-4，则b_n=4-2n，
∴Cn=

bn

an

=

4-2n

2n-2

=

16-8n

2n

，
∴Tn=

8

2

+

0

22

+

-8

23

+…

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

①

1

2

Tn=

8

22

+

0

23

+…+

24-8n

2n

+

16-8n

2n+1

 ②
①-②得，

1

2

Tn=4-8(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

16-8n

2n+1

，

=4-8? 1 22 (1- 1 2n-1 ) 1- 1 2 - 16-8n 2n+1 =4-4(1- 1 2n-1 )- 16-8n 2n+1 = 4n 2n

∴Tn=

8n

2n

．

点评：本题考查数列中a_n与S_n关系式的应用，定义法判断数列是等比数列，以及利用错位相减法求数列的和，考查了学生的计算化简能力．