Question

1．已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y²=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，且|$\overrightarrow{MF}$|=|$\overrightarrow{MA}$|，则m=$\frac{11}{2}$．

Answer 1

分析 画出图形，利用已知条件求出A，B的坐标，通过向量关系求出m值即可．

解答 解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x₁，y₁），
可知B（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，可得：2（x₂-1，y₂）=（1-x₁，-y₁），
可得y₂=-$\frac{{y}_{1}}{2}$，x₂=$\frac{3-{x}_{1}}{2}$，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}\\（-\frac{{y}_{1}}{2}）^{2}=4×\frac{3-{x}_{1}}{2}\end{array}\right.$，
解得x₁=2，y₁=±2$\sqrt{2}$．
|$\overrightarrow{MF}$|=|$\overrightarrow{MA}$|，
可得|m-1|=$\sqrt{（{m-2）}^{2}+（{0±2\sqrt{2}）}^{2}}$，
解得m=$\frac{11}{2}$．
故答案为：$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．