Question

6．如图，已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为是双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，则该双曲线离心率e的取值范围为[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$+1]．

Answer 1

分析 如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．则四边形AFBF′为矩形．因此|AB=|FF′|=2c．而|AF′|-|AF|=2a．|AF|=2csinα，|BF′|=2ccosα．可得e=$\frac{1}{cosα-sinα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）}$，求出即可．

解答 解：如图所示，
设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．
则四边形AFBF′为矩形．
因此|AB=|FF′|=2c．
|AF′|-|AF|=2a．
|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα．
∴2ccosα-2csinα=2a．
∴e=$\frac{1}{cosα-sinα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）}$，
∵α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，
∴α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴e∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$+1]．
故答案为：[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$+1]．

点评 本题考查了双曲线的定义及其性质、两角差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．