Question

已知函数f（x）=（2alnx）+2ax-x²．       
（1）试确定函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）设a＞0，若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有唯一零点，试求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，再分类讨论，根据导数的正负，可得函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）x=x₁为极大值，因为只有一个零点，所以f（x₁）=0，再确定g（x）=2lnx+x-1是单调增的，所以至多只有一个零点，即可得出结论．

解答： 解：（1）f'（x）=

2

x

（x²-ax-a）
由f'（x）=0，得x²-ax-a=0，
所以△=a²+4a=a（a+4）
讨论a：
当-4≤a≤0时，△≤0，此时f'（x）≤0，因此函数在定义域内单调减；
当a＞0时，f（x）在x＞0只有一个极值点x₁=

a+ △

2

；
当x＞x₁时，f（x）单调减；当0＜x＜x₁时，f（x）单调增．
a＜-4时，f（x）在x＞0无极值点，x＞0时，f（x）单调减．
（2）由上，x=x₁为极大值，因为只有一个零点，所以f（x₁）=0
而x₁满足x₁²=ax₁+af（x₁）=2alnx₁+2ax₁-ax₁-a=a（2lnx₁+x₁-1）=0得2lnx₁+x₁-1=0
因为g（x）=2lnx+x-1是单调增的，所以至多只有一个零点，
而g（1）=0，所以有x₁=1代入x₁²-ax₁-a=0，得1-a-a=0，得a=

1

2

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．