Question

已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，且它的离心率为

2 3

3

，实半轴长为

3

．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）过(0，

2

)的直线与双曲线C有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

=-31（其中O为原点），试求出这条直线．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，从而可解得a=

3

，c=2，b=1，写出双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线方程为y=kx+

2

，与双曲线方程联立化简得(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0，利用韦达定理可得x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x₁x₂=

-9

1-3k2

；化简

OA

•

OB

=-31可得(k2+1)

-9

1-3k2

+

2

k

6 2 k

1-3k2

+2=-31，从而求解k．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∵a=

3

，c=2，
∴b=1，
故双曲线方程为

x2

3

-y2=1．
（Ⅱ）设直线方程为y=kx+

2

，
代入

x2

3

-y2=1得，
(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0，
由

1-3k2≠0 △＞0

得k2≠

1

3

，且k²＜1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由韦达定理可得，
x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x₁x₂=

-9

1-3k2

；
又∵

OA

•

OB

=-31，
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2

)
=(k2+1)x1x2+

2

k(x1+x2)+2
=(k2+1)

-9

1-3k2

+

2

k

6 2 k

1-3k2

+2=-31，
解得k2=

1

4

，
又∵k²＜1，
∴k=±

1

2

，
∴直线方程为y=

x

2

+

2

或y=-

x

2

+

2

．

点评：本题考查了双曲线方程的求法及与直线方程联立的处理方法，化简很困难，属于难题．