Question

对于函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2，（a≠0），若存在实数x₀，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．
（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点；
（2）当a=2时，函数f（x）在（-2，3）内有两个不同的不动点，求实数b的取值范围；
（3）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不相同的不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把a，b的值代入方程解出即可；（2）把a=2代入，得到二次函数，结合二次函数的性质得不等式组，解出即可；（3）由二次函数的性质，得不等式组，解出即可．

解答： 解：（1）当a=2，b=-2时，f（x）=2x²-x-4，
∴由f（x）=x得2x²-x-4=x，即：2x²-x-2=0，
∴x=-1或x=2，
∴f（x）的不动点为-1，2；
（2）当a=2时，则f（x）=2x²+（b+1）x+b-2，
由题意得f（x）=x在（-2，3）内有两个不同的不动点，
即方程2x²+（b+1）x+b-2=0，
 在（-2，3）内的两个不相等的实数根，
设g（x）=2x²+（b+1）x+b-2，
∴只须满足

g(-2)=8-2b+b-2＞0 g(3)=18+3b+b-2＞0 -2＜- b 4 ＜3 b2-8(b-2)＞0

，
∴

b＜6 b＞-4 -12＜b＜8 b≠4

，
∴-4＜b＜4或4＜b＜6；
（3）由题意得：对于任意实数b，方程ax²+bx+b-2=0总有两个不相等的实数解，
∴

a≠0 △=b2-4a(b-2)＞0

，
∴b²-4ab+8a＞0 对b∈R恒成立，
∴16a²-32a＜0，
∴0＜a＜2．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了新定义问题，考查了转化思想，是一道中档题．