Question

14．已知函数y=cos²x+asinx-a²+2a+5有最大值2，a∈[-2，2]，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
（1）求a的值；
（2）求y的最小值及此时x的值．

Answer 1

分析 （1）对f（x）化简，使用换元法转化成二次函数，根据最大值列出方程解出a，
（2）根据函数的单调性求出最小值．

解答 解：（1）f（x）=-sin²x+asinx-a²+2a+6．令sinx=t（-1≤t≤1），则f（x）=-t²+at-a²+2a+6，
令g（t）=-t²+at-a²+2a+6，则g（t）的图象开口向下，对称轴为t=$\frac{a}{2}$，
∵a∈[-2，2]，∴$\frac{a}{2}$∈[-1，1]，∴g_max（t）=g（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{3}{4}$a²+2a+6=2．解得a=-$\frac{4}{3}$或a=4（舍）．
∴a=-$\frac{4}{3}$．
（2）g（t）=-t²-$\frac{4}{3}$t+$\frac{14}{9}$，对称轴为t=-$\frac{2}{3}$，
∴当t=1时，g（t）取得最小值g（1）=-$\frac{7}{9}$．此时sinx=1，∴x=$\frac{π}{2}$．
∴y的最小值是-$\frac{7}{9}$，此时x=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了三角函数求值，二次函数的单调性与最值，换元法，属于中档题．