Question

8．对任意的正数x，都存在两个不同的正数y，使x²（lny-lnx）-ay²=0成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2e}$）
• B． （-∞，$\frac{1}{2e}$）
• C． （$\frac{1}{2e}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{2e}$，1）

Answer 1

分析 由x²（lny-lnx）-ay²=0（x，y＞0），可得：a=$\frac{ln\frac{y}{x}}{（\frac{y}{x}）^{2}}$，令$\frac{y}{x}$=t＞0，a=$\frac{lnt}{{t}^{2}}$，设g（t）═$\frac{lnt}{{t}^{2}}$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：由x²（lny-lnx）-ay²=0（x，y＞0），可得：a=$\frac{ln\frac{y}{x}}{（\frac{y}{x}）^{2}}$，令$\frac{y}{x}$=t＞0，∴a=$\frac{lnt}{{t}^{2}}$，
设g（t）═$\frac{lnt}{{t}^{2}}$，g′（t）=$\frac{\frac{1}{t}×{t}^{2}-2tlnt}{{t}^{4}}$=$\frac{1-2lnt}{{t}^{3}}$．
令g′（t）＞0．解得$0＜t＜\sqrt{e}$，此时函数g（t）单调递增；
令g′（t）＜0．解得t$＞\sqrt{e}$，此时函数g（t）单调递减．
又t＞1时，g（t）＞0；1＞t＞0时，g（t）＜0．
可得函数g（t）的图象．
因此当a∈$（0，\frac{1}{2e}）$时，存在两个正数，使得a=$\frac{lnt}{{t}^{2}}$成立，
即对任意的正数x，都存在两个不同的正数y，
使x²（lny-lnx）-ay²=0成立．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、数形结合方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．