Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC₁=

3

，P是BC₁上一动点，则A₁P+PC的最小值是

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，利用两点之间线段最短，即可求出满足条件的P的位置，然后利用余弦定理即可求解．

解答： 解：连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，如图所示，
连A₁C，则A₁C的长度就是所求的最小值．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC₁=

3

，
∴BC₁=2，A₁C₁=2，A₁B=2

2

，BC=1，CC₁=

3

，
即∠A₁C₁B=90°，∠CC₁B=30°，
∴∠A₁C₁C=90°+30°=120°，
由余弦定理可求得A₁C²=22+(

3

)2-2×2×

3

×cos120°=4+3+2×2×

3

×

1

2

=7+2

3

，
∴A₁P+PC的最小值是

7+2 3

，
故答案为：

7+2 3

．

点评：本题主要考查空间线段长度的最值计算，利用平面展开法将空间问题转化为平面两点之间线段最短是解决本题的关键，利用余弦定理即可求解长度问题，综合性较强．