Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞-1，且当x∈[-

a

2

，

1

2

]时，f（x）＜g（x），求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=-2时，f（x）＜g（x）?|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0，构造函数函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，作出其图象，即可求得不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）当x∈[-

a

2

，

1

2

），f（x）=1+a，不等式f（x）＜g（x）化为1+a≤x+3，依题意，即可求得a的取值范围．

解答： 解：（I）当a=-2时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，
则y=

-5x，x＜ 1 2 -x-2， 1 2 ≤x≤1 3x-6，x＞1

，

其图象如图，从图象可知，当且仅当x∈（0，2）时，y＜0，
∴原不等式的解集是{x|0＜x＜2}；
（Ⅱ）当x∈[-

a

2

，

1

2

），f（x）=1+a，不等式f（x）＜g（x）化为1+a≤x+3，
∴x≥a-2对x∈[-

a

2

，

1

2

）都成立，故-

a

2

≥a-2，即a≤

4

3

．
∴a的取值范围是（-1，

4

3

]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查作图分析问题、解决问题的能力，突出恒成立问题的考查，属于中档题．