Question

函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足：（1）f（x）在D上为单调函数；（2）存在区间[a，b]⊆D，使得f（x）在[a，b]上的值域为[

a

2

，

b

2

]，则称函数f（x）为“取半函数”．若f（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，且c≠1）为“取半函数”，则t的取值范围是（　　）

• A、（-

  1

  4

  ，

  1

  4

  ）
• B、（0，

  1

  4

  ）
• C、（0，

  1

  2

  ）
• D、（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据复合函数的单调性，先判断函数f（x）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．

解答： 解：若c＞1，则函数y=c^x+t为增函数，y=log_cx，为增函数，∴函数f（x）=log_c（c^x+t）为增函数，
若0＜c＜1，则函数y=c^x+t为减函数，y=log_cx，为减函数，∴函数f（x）=log_c（c^x+t）为增函数，
综上：函数f（x）=log_c（c^x+t）为增函数，
若函数f（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，c≠1）是函数f（x）为“取半函数”．

f(a)= a 2 f(b)= b 2

，
所以a，b是方程log_c（c^x+t）=

x

2

，两个不等实根，
即a，b是方程c^x+t=c 

x

2

两个不等实根，
化简得出：c^x-

cx

+t=0，
可以转化为：m²-m+t=0有2个不等正数根．
所以

t＞0 △=1-4t＞0

求解得出：0＜t＜

1

4

故选：B．

点评：本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，判断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．