Question

19．已知f（x）=sinx+2cosx，若函数g（x）=f（x）-m在x∈（0，π）上有两个不同零点α，β，则cos（α+β）=（　　）

• A． -1
• B． $\frac{{m}^{2}}{5}$-1
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 f（x）=sinx+2cosx=$\sqrt{5}$sin（x+φ），其中cosφ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinφ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．由x∈（0，π），可得φ＜x+φ＜π+φ．由于函数g（x）=f（x）-m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，可得y=m与y=f（x）的图象有两个交点，可得α与β关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，即可得出．

解答 解：f（x）=sinx+2cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{1}{\sqrt{5}}$sinx+$\frac{2}{\sqrt{5}}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x+φ），其中cosφ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinφ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵x∈（0，π），∴φ＜x+φ＜π+φ．
∵函数g（x）=f（x）-m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，
∴y=m与y=f（x）的图象有两个交点，
cos2φ=2cos²φ-1=2×（$\frac{\sqrt{5}}{5}$）²-1=-$\frac{3}{5}$，
∴sinφ＜m＜$\sqrt{5}$．
且α与β关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，
∴α+β+2φ=π，
则cos（α+β）=-cos2φ=$\frac{3}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、函数的零点转化为图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．