Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx，k＞0，求f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx，x＞0，
∴f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，
当k＞0时，令f′（x）=x-$\frac{k}{x}$=0，解得x=$\sqrt{k}$，
当f′（x）＞0，即x＞$\sqrt{k}$时，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即0＜x＜$\sqrt{k}$时，函数单调递减，
∴函数f（x）在（0，$\sqrt{k}$）上单调性递减，在（$\sqrt{k}$，+∞）上单调递增，
∴当x=$\sqrt{k}$时，函数有极小值，极小值为f（$\sqrt{k}$）=$\frac{k}{2}$-kln$\sqrt{k}$，无极大值．

点评 本题考查了导数和函数的极值的关系，关键时求导，属于基础题．