Question

8．某风景区出售旅游年卡，每张144元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限一次，某公司有48名职工，公司打算组织员工分组分批集体旅游，除需购买若干张年卡外，每次还需包一辆汽车（最多乘48人）每次包车费54元，若使每位员工游玩8次．
（1）如果买16张卡，那么游玩8次，每位员工需交多少钱？
（2）买多少张卡最合算（即员工交钱最少），每位员工需交多少钱？

Answer 1

分析 （1）求出买16张卡所需去的批数，求得花钱总数，可得每位员工需交钱数；
（2）设买x张旅游年卡，总开支为y元，则每批去x名职工，共需去$\frac{48×8}{x}$=$\frac{384}{x}$批，求得买卡所需费用144x；包车所需费用$\frac{384}{x}×54$．得到总费用，然后利用基本不等式求得最值．

解答 解：（1）买16张卡，共需$\frac{48×8}{16}=24$批，花钱总数为16×144+24×54=3600元．
∴每位员工需交钱$\frac{3600}{48}=75$元；
（2）设买x张旅游年卡，总开支为y元，则每批去x名职工，共需去$\frac{48×8}{x}$=$\frac{384}{x}$批，
总开支又分为：①买卡所需费用144x；②包车所需费用$\frac{384}{x}×54$．
∴y=144x+$\frac{384}{x}×54$（0＜x≤48，x∈Z）．
因此，y=144（x+$\frac{144}{x}$）≥$144×2\sqrt{x•\frac{144}{x}}$=144×24=3456元．
当且仅当x=$\frac{144}{x}$时，即x=12时取等号．
每位员工需交$\frac{3456}{48}=72$元．

点评 本题考查简单的线性规划的应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．