Question

20．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}-{e^{-x}}（a∈R$且x＞0）．若存在实数p，q（p＜q），使得f（x）≤0的解集恰好为[p，q]，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$]
• B． （一∞，$\frac{1}{e}$]
• C． （0，$\frac{1}{e}$）
• D． （一∞，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 分别讨论a的取值范围，利用参数分离法，结合导数研究函数的最值即可得到结论．

解答 解：当a=0时，f（x）=-e^-x＜0，则不存在f（x）≤0的解集恰为[p，q]，
当a＜0时，f（x）＜0，此时函数f（x）单调递增，则不存在f（x）≤0的解集恰为[p，q]，
当a＞0时，由f（x）≤0得$\frac{a}{x}$≤e^-x，
当x＞0时，不等式等价为a≤$\frac{x}{{e}^{x}}$，
设g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
当x＞1时，g′（x）＜0，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
即当x=1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）=$\frac{1}{e}$，
∴若存在实数p，q，使得f（x）≥0的解集恰为[p，q]，
则必有a＜$\frac{1}{e}$，
即0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故选：C．

点评 本题主要考查导数的综合应用，考查分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．