Question

8．已知抛物线C：y²=-4x．
（Ⅰ）已知点M在抛物线C上，它与焦点的距离等于5，求点M的坐标；
（Ⅱ）直线l过定点P（1，2），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知点M在抛物线C上，它与焦点的距离等于5，利用抛物线的定义，建立方程，即可求点M的坐标；
（Ⅱ）由方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-k+2}\\{{y^2}=-4x}\end{array}}\right.$可得：ky²+4y+4k-8=0，利用判别式，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）点M在抛物线C上，设$C（-\frac{y^2}{4}，y）$，设焦点为F，$|CF|=|-\frac{y^2}{4}|+1=5$---（2分）
解得：y²=16，故点M（-4，4）或M（-4，-4）----------------------------（4分）
（Ⅱ）由题意设直线l的方程：y=kx-k+2
由方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-k+2}\\{{y^2}=-4x}\end{array}}\right.$可得：ky²+4y+4k-8=0---（1）----------（5分）
（1）当k=0时，由（1）得y=2带入y²=-4x，x=-1，
此时直线与抛物线只有一个公共点．---------------------------------------------------------（6分）
（2）当k≠0时，（1）的判别式△=16-4k（4k-8）=-16（k²-2k-1）-------（7分）
当△=0时，$k=1+\sqrt{2}$或$k=1-\sqrt{2}$，此时直线与抛物线只有一个公共点；------（8分）
当△＞0时，$1-\sqrt{2}＜k＜1+\sqrt{2}$，此时直线与抛物线有两个公共点；-----------（10分）
当△＜0时，$k＞1+\sqrt{2}$或$k＜1-\sqrt{2}$，此时直线与抛物线没有公共点．-----------（12分）

点评 本题考查抛物线的方程与定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．