Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$mx²+1，g（x）=2lnx-（2m+1）x-1（m∈R），且h（x）=f（x）+g（x）
（1）若函数h（x）在（1，f（1））和（3，f（3））处的切线互相平行，求实数m的值；
（2）求h（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算h′（1），h′（3），以及h（1），h（3）求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可．

解答 解：∵h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{2}$mx²-（2m+1）x+2lnx，
∴h′（x）=mx-（2m+1）+$\frac{2}{x}$，（x＞0），
（1）h′（1）=m-（2m+1）+2=1-m，
∴h′（3）=3m-（2m+1）+$\frac{2}{3}$=m-$\frac{1}{3}$，
由h′（1）=h′（3）得：m=$\frac{2}{3}$；
（2）∵h′（x）=$\frac{（mx-1）（x-2）}{x}$，（x＞0），
?当m≤0时，x＞0，mx-1＜0，
在区间（0，2）上，f′（x）＞0，
在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，
?当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{m}$＞2，
在区间（0，2）和（$\frac{1}{m}$，+∞）上，f′（x）＞0，
在区间（2，$\frac{1}{m}$）上，f′（x）＜0，
当m=$\frac{1}{2}$时，f′（x）=$\frac{{（x-2）}^{2}}{2x}$，
?在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，
④当m＞$\frac{1}{2}$时，0＜$\frac{1}{m}$＜2，
在区间（0，$\frac{1}{m}$）和（2，+∞）上，f′（x）＞0，
在区间（$\frac{1}{m}$，2）上，f′（x）＜0，
综上：?当m≤0时，f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，?
f（x）在（0，2）和（$\frac{1}{m}$，+∞）递增，在（2，$\frac{1}{m}$）递减，
m=$\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，+∞）递增?；
④当m＞$\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）和（2，+∞）递增，在（$\frac{1}{m}$，2）递减．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．