Question

在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：已知两等式两边分别平方，相加后利用同角三角函数间的基本关系化简，求出sinC的值，即可确定出C的度数．

解答： 解：由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，
①²+②²得：（3sinA+4cosB）²+（3cosA+4sinB）²=37，
化简得：9+16+24（sinAcosB+cosAsinB）=37，
即sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=

1

2

，又∠C∈（0，π），
∴∠C的大小为

π

6

或

5π

6

，
若∠C=

5

6

π，得到A+B=

π

6

，则cosA＞

3

2

，所以3cosA＞

3 3

2

＞1，
∴3cosA+4sinB＞1与3cosA+4sinB=1矛盾，所以∠C≠

5

6

π，
∴满足题意的∠C的值为

π

6

．
则∠C的大小为

π

6

．
故答案为：

π

6

点评：此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．