Question

11．已知函数$f（x）=\frac{x}{x-2}+cos\frac{π}{4}x$在[0，2）上的最大值为a，在（2，4]上的最小值为b，则a+b=（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由函数g（x）=$\frac{x}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}$在（-∞，2），（2，+∞）单调递减，函数h（x）=cos$\frac{π}{4}x$在[0，4]单调递减，可得函数$f（x）=\frac{x}{x-2}+cos\frac{π}{4}x$ 在[0，2），（2，4]上单调性，即可求得a，b即可．

解答 解：函数g（x）=$\frac{x}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}$，函数g（x）是函数y=$\frac{2}{x}$向右平移2个单位，
向上平移1个单位，故函数g（x）在（-∞，2），（2，+∞）单调递减；
对于函数h（x）=cos$\frac{π}{4}x$，由2k$π≤\frac{π}{4}x≤2kπ+π$（k∈Z），得8k≤x≤8k+4，故函数h（x）在[0，4]单调递减．∴函数$f（x）=\frac{x}{x-2}+cos\frac{π}{4}x$在[0，2）上单调递减，故其最大值为f（0）=a，∴a=1，函数$f（x）=\frac{x}{x-2}+cos\frac{π}{4}x$ 在（2，4]上单调递减，其最小值为f（4）=b，∴b=1．所以a+b=2，
故选D．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的最值，属于中档题．