Question

1．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的两焦点，点P是该椭圆上一点，$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|=2\sqrt{3}$，则∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理，及向量的模长公式，即可求得2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=0，则cos∠F₁PF₂=0，求得∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$焦点在x轴上，|PF₁|+|PF₂|=2a=4，|F₁F₂|²=2$\sqrt{3}$，
由余弦定理可知：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂=12，
则丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²=丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨²+2$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$\overrightarrow{P{F}_{2}}$+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²=12，
∴2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=0，则cos∠F₁PF₂=0，
∴∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查余弦定理，向量模长公式，考查计算能力，属于中档题．