Question

5．已知函数f（x）=$\frac{6}{x-1}$，
（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性并用单调性的定义证明；
（2）若x∈[2，4]，求函数f（x）值域．

Answer 1

分析 （1）根据减函数的定义，设x₁＞x₂＞1，通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可．
（2）由（1）知函数f（x）在[2，4]上是减函数，即可求函数f（x）值域．

解答 解：（1）函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，证明如下：
设x₁＞x₂＞1，则：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{6（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
∵x₁＞x₂＞1，
∴x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上是单调减函数．
（2）由（1）知函数f（x）在[2，4]上是减函数，
∴f（x）_min=f（4）=2，f（x）_max=f（2）=6．

点评 考查减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法及过程，考查单调性的运用，属于中档题．