Question

已知函数f（x）=x+

4

x

，定义域为（0，+∞）．
（1）证明：f（x）在区间（0，2]上是单调减函数；
（2）试求函数f（x）的最大值或最小值；
（3）若f（x）＞a在x∈[1，+∞）恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），判断f′（x）在区间（0，2]上的符号即可证出f（x）在（0，2]是减函数；
（2）先根据导数判断f（x）在（2，+∞）上的单调性，根据极值的概念判断f（x）取得极值的情况：x=2处取得极小值4；
（3）若f（x）＞a即a＜f（x），所以只要让a小于f（x）在[1，+∞）上的最小值即可．

解答： 解：（1）证明：f′（x）=1-

4

x2

=

x2-4

x2

；
∴x∈（0，2]时，x²-4≤0，即f′（x）≤0；
∴f（x）在区间（0，2]上是单调减函数；
（2）x∈（2，+∞）时，x²-4＞0，∴f′（x）＞0；
∴f（x）在（2，+∞）上是单调增函数；
∴f（2）=4是f（x）在（0，+∞）上的最小值，显然无最大值；
（3）a＜f（x）在[1，+∞）上恒成立；
∴a＜f（x）_min即可，由（2）知f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（2）=4；
∴a＜4；
∴实数a的取值范围为（-∞，4）．

点评：考查根据导数符号判断函数单调性的方法，极值的概念，以及利用导数求最值的方法．