Question

11．已知函数f（x）满足f（x）=-f（2-x），x∈R，且在[1，+∞）上递增，若g（x）=f（1+x），且2g（log₂a）-3g（1）≤g（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a），则实数a的范围为（　　）

• A． （0，2]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 先判断函数f（x）的奇偶性，再判断g（x）的奇偶性和单调区间，化简不等式解得即可．

解答 解：∵函数f（x）对?x∈R满足f（x）=-f（2-x），
∴f（x）的图象关于点（1，0）对称，
∵g（x）=f（1+x），f（x）在[1，+∞）上递增
∴g（x）也为奇函数，并且在（0，+∞）是增函数，
∵g（$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$）=g（-log₂^a），2g（log₂a）-3g（1）≤g（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a），
∴3g（log₂^a）≤3g（1），
即log₂^a≤1，
解得：0＜a≤2．
故选：A．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，注意自变量的取值范围，考查了学生的转化能力．